【題目】正方形
的邊長為2，
，
分別為
，
的中點，以
為折痕把
折起，使點
到達點
的位置，平面
平面
.
（1）證明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）利用正方形的性質可得
垂直于面
，得到
又
，所以
再由已知條件即可證明．
（2）作
，垂足為
，由（1）得，
平面
，以為坐標原點，
的方向為
軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系
，利用空間向量法求出二面角的余弦值.
解：（1）由已知可得，平面
平面，
平面，
，
平面
平面
，所以
平面，
，又，所以，又
，
且
，所以
平面
.
（2）作，垂足為，由（1）得，平面.
以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.
由（1）可得，
.又
，
，所以
.故
.
可得
，
.
則
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知：
為平面
的法向量，
.
設平面
的法向量為
，則：
，即
，
所以
，令
，則
，
.
則
.
所以二面角
的余弦值為.
培優三好生系列答案
優化作業上海科技文獻出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】關于旋轉體的體積，有如下的古爾丁（guldin）定理：“平面上一區域D繞區域外一直線（區域D的每個點在直線的同側，含直線上）旋轉一周所得的旋轉體的體積，等于D的面積與D的幾何中心（也稱為重心）所經過的路程的乘積”．利用這一定理，可求得半圓盤
，繞直線x
旋轉一周所形成的空間圖形的體積為_____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某機器生產商，對一次性購買兩臺機器的客戶推出兩種超過質保期后兩年內的延保維修方案：
方案一：交納延保金
元，在延保的兩年內可免費維修
次，超過次每次收取維修費
元;
方案二：交納延保金
元，在延保的兩年內可免費維修
次，超過次每次收取維修費
元.
某工廠準備一次性購買兩臺這種機器，現需決策在購買機器時應購買哪種延保方案，為此搜集并整理了臺這種機器超過質保期后延保兩年內維修的次數，統計得下表：
維修次數 | 0 | 1 | 2 | 3 |
機器臺數 | 20 | 10 | 40 | 30 |
以上
臺機器維修次數的頻率代替一臺機器維修次數發生的概率，記
表示這兩臺機器超過質保期后延保兩年內共需維修的次數.
求的分布列；
以所需延保金與維修費用之和的期望值為決策依據，該工廠選擇哪種延保方案更合算？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
中，邊
，
，令
，
，
，過
邊上一點
（異于端點）引邊
的垂線
，垂足為
，再由引邊
的垂線
，垂足為
，又由引邊的垂線
，垂足為
，同樣的操作連續進行，得到點列
、
、
，設
（
）；
（1）求
；
（2）結論“
”是否正確？請說明理由；
（3）若對于任意
，不等式
恒成立，求
的取值范圍；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是函數
（
，
，
，
）在區間
上的圖象，為了得到這個函數的圖象，只需將
（）的圖象上的所有的點（ ）
A. 向左平移
個長度單位，再把所得各點的橫坐標變為原來的
，縱坐標不變
B. 向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變
C. 向左平移
個長度單位，再把所得各點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變
D. 向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在2018年10月考考試中，成都外國語學校共有250名高三文科學生參加考試，數學成績的頻率分布直方圖如圖：
（1）如果成績大于130的為特別優秀，這250名學生中本次考試數學成績特別優秀的大約多少人？
（2）如果這次考試語文特別優秀的有5人，語文和數學兩科都特別優秀的共有2人，從（1）中的數學成績特別優秀的人中隨機抽取2人，求選出的2人中恰有1名兩科都特別優秀的概率．
（3）根據（1），（2）的數據，是否有99%以上的把握認為語文特別優秀的同學，數學也特別優秀？
①
②
P（ | 0.50 | 0.40 | … | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | … | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某部門經統計，客戶對不同款型理財產品的最滿意程度百分比和對應的理財總銷售量（萬元）如下表（最滿意度百分比超高時總銷售量最高）：
產品款型 | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
最滿意度% | 20 | 34 | 25 | 19 | 26 | 20 | 19 | 24 | 19 | 13 |
總銷量（萬元） | 80 | 89 | 89 | 78 | 75 | 71 | 65 | 62 | 60 | 52 |
設
表示理財產品最滿意度的百分比，
為該理財產品的總銷售量（萬元）.這些數據的散點圖如圖所示.
（1）在
份
款型理財產品的顧客滿意度調查資料中任取
份；只有一份最滿意的，求含有最滿意客戶資料事件的概率.
（2）我們約定：相關系數的絕對值在
以下是無線性相關，在以上（含）至
是一般線性相關，在以上（含）是較強線性相關，若沒有達到較強線性相關則采取“末位”剔除制度（即總銷售量最少的那一款產品退出理財銷售）；試求在剔除“末位”款型后的線性回歸方程（系數精確到
）.
數據參考計算值：
項目 |
|
|
|
|
|
|
值 | 21.9 | 72.1 | 288.9 | 37.16 | 452.1 | 17.00 |
附：回歸直線方程
的斜率和截距的最小二乘法估計分別為：
線性相關系數
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的焦距為
，點
在橢圓上，且
的最小值是
（
為坐標原點）.
（1）求橢圓的標準方程.
（2）已知動直線
與圓：
相切，且與橢圓交于
，
兩點.是否存在實數
，使得
？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形
中，
，
為邊
的中點.將
沿直線
翻折成
（點
不落在底面
內).若
為線段
的中點，則在翻轉過程中，以下命題正確的是（ ）
A.四棱錐
體積最大值為
B.線段
長度是定值；
C.
平面
一定成立；
D.存在某個位置，使
；
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