Question

如圖2,已知任意兩個非零向量a、b,試作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎?為什么?

圖2

Answer 1

活動:本例給出了利用向量共線判斷三點共線的方法,這是判斷三點共線常用的方法.教學中可以先引導學生作圖,通過觀察圖形得到A,B,C三點共線的猜想,再將平面幾何中判斷三點共線的方法轉化為用向量共線證明三點共線.本題只要引導學生理清思路,具體過程可由學生自己完成.另外,本題是一個很好的與信息技術整合的題材,教學中可以通過計算機作圖,進行動態演示,揭示向量a、b變化過程中,A、B、C三點始終在同一條直線上的規律.

圖3

解:如圖3,分別作向量、、,過點A、C作直線AC.觀察發現,不論向量a、b怎樣變化,點B始終在直線AC上,猜想A、B、C三點共線.

事實上,因為=-=a+2b-(a+b)=b,

而=-=a+3b-(a+b)=2b,

于是=2.

所以A、B、C三點共線.

點評:關于三點共線問題,學生接觸較多,這里是用向量證明三點共線,方法是必須先證明兩個向量共線,并且有公共點.教師引導學生解完后進行反思,體會向量證法的獨特新穎.