Question

用數學歸納法證明：(3n+1)·7ⁿ-1能被9整除．(n∈N*)

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：證明一個與n有關的式子f(n)能被一個數a(或一個代數式g(n)整除，主要是找到f(k+1)與f(k)的關系，設法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k+1)=f(k)·f1(k)+Q·f2(k)，就可證得命題成立． 　　(1)當n=1時，原式=(3×1+1)·7-1=27，能被9整除，命題成立． 　　(2)假設當n=k時，(3k+1)·7k-1能被9整除，當n=k+1時， 　　[3(k+1)+1]·7k+1-1 　　=[21(k+1)+7]·7k-1 　　=[(3k+1)+(18k+27)]·7k-1 　　=[(3k+1)·7k-1]+9(2k+3)·7k 　　∵　[(3k+1)·7k-1]和9(2k+3)·7k都能被9整除 　　∴　[(3k+1)·7k-1]+9(2k+3)·7k能被9整除 　　即[3(k+1)+1]·7k+1-1能被9整除 　　即當n=k+1時，命題成立 　　由(1)、(2)可知，對任何n∈N*，命題都成立．