Question

【題目】如圖所示，是邊長，的矩形硬紙片，在硬紙片的四角切去邊長相等的小正方形后，再沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體盒子，、是上被切去的小正方形的兩個頂點，設.

（1）將長方體盒子體積表示成的函數關系式，并求其定義域；

（2）當為何值時，此長方體盒子體積最大？并求出最大體積.

Answer 1

【答案】（1），；（2）當時長方體盒子體積最大，此時最大體積為.

【解析】

（1）分別由題意用x表示長方體的長寬高，代入長方體的體積公式即可表示該函數關系，再由實際長方體的長寬高都應大于零構建不等式組，即可求得定義域.

（2）利用導數分析體積在定義域范圍內的單調性，進而求函數的最大值.

長方體盒子長，寬，高.

（1）長方體盒子體積，

由得，故定義域為.

（2）由（1）可知長方體盒子體積

則，在內令，解得，故體積V在該區間單調遞增；

令，解得，故體積V在該區間單調遞減；

∴在取得極大值也是最大值.此時.

故當時長方體盒子體積最大，此時最大體積為.