Question

（本小題滿分15分）設，．
（1）當時，求曲線在處的切線的斜率；
（2）如果存在，使得成立，求滿足上述條件的最大整數；
（3）如果對于任意，都有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：（1）當時，，故.                  ……3分
（2）存在，使得成立等價于，
∵，∴，
∴在上單調遞減，在上單調遞增，                                    ……6分
∴，，
∴，
∴滿足的最大整數為4；                                                          ……8分
(3)對于任意，都有成立，等價于．
由（2）知，在上，，
∴在上，恒成立，等價于恒成立，
記，則且，
∴當時，；當時，，
∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，
∴∴.                                                        ……15分
合運算所學知識分析問題、解決問題的能力和運算求解能力.
點評：恒成立問題是高考中一個常考的考點，恒成立問題一般轉化成最值問題來解決.導數是研究函數性
質尤其是單調性、最值問題的有力工具，要靈活運算，但是不要忘記定義域.