Question

19、某校高2010級數學培優學習小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影．
（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種？
（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種？
（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種？

Answer 1

分析：（1）根據題意甲乙兩人必須相鄰的站法，把甲乙捆綁成一個整體與其余3人當著4個人作全排列有A₄⁴種，且甲、乙的位置還可以互換根據分步計數原理，得到結果．
（2）除甲乙兩人外其余3人的排列數為A₃³，而甲乙二人應插其余3人排好的空才不相鄰；且甲、乙位置可以互換．故有C₄²A₂²種排列方式
（3）若甲站最右端，則乙與其余三人可任意排，則此時的排法數為A₄⁴種；若甲不站最右端，則先從中間3個位置中選一個給甲，再從除最右端的省余的3個位置給乙，其余的三個人任意排，則此時的排法數為C₃¹C₃¹A₃³種；

解答：解：（1）把甲乙捆綁成一個整體與其余3人當著4個人作全排列有A₄⁴種，
且甲、乙的位置還可以互換
∴不同站法有A₄⁴•A₂²=48種．
（2）除甲乙兩人外其余3人的排列數為A₃³，
而甲乙二人應插其余3人排好的空才不相鄰；
且甲、乙位置可以互換．故有C₄²A₂²種排列方式．
∴不同站法有A₃³•C₄²A₂²=72種．
（3）優先考慮甲：
若甲站最右端，則乙與其余三人可任意排，則此時的排法數為A₄⁴種；
若甲不站最右端，則先從中間3個位置中選一個給甲，
再從除最右端的省余的3個位置給
乙，其余的三個人任意排，則此時的排法數為C₃¹C₃¹A₃³種；
∴不同站法有A₄⁴+C₃¹C₃¹A₃³=78種．

點評：本題考查排列組合的實際應用，是一個排列問題，注意相鄰問題的排法，有限制條件的元素，要優先考慮，本題是一個送分題目．