Question

【題目】設 A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是函數f（x）=x﹣ 的圖象上任意兩點，若 M為 A，B的中點，且 M的橫坐標為1．
（1）求y1+y2；
（2）若Tn= ，n∈N* ， 求 Tn；
（3）已知數列{an}的通項公式an= （n≥1，n∈N*），數列{an}的前n項和為Sn ， 若不等式2nSn＜m2n﹣4Tn+5對任意n∈N*恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知點M為線段AB的中點，則：x1+x2=2，

∴

（2）解：由（1），當x1+x2=2時，有f（x1）+f（x2）=2，

故

由Tn= ，

Tn= ，

2Tn= = ×2n×2=2n，

∴Tn=n

（3）解：由已知：Sn=1+ ，

= +…+ ， ，

∴Sn=3﹣ ．

不等式2nSn＜m2n﹣4Tn+5即32n﹣（n+3）＜m2n﹣4n+5，

也即（m﹣3）2n＞3n﹣8，即m﹣3＞ 恒成立，

故只需 ．

令bn= ，

當n≥2時，bn﹣bn﹣1= ，

當n≤4時，bn﹣bn﹣1＞0，當n≥5時，bn﹣bn﹣1＜0，

故b1＜b2＜b3＜b4； b4＞b5＞b6＞

故（bn）max=b4= ，

∴m﹣3＞ ，解得：m＞

【解析】（1）利用中點坐標公式即可得出；（2）由（1），當x1+x2=2時，有f（x1）+f（x2）=2，利用此結論可得Tn ． （3）利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出Sn ． 不等式2nSn＜m2n﹣4Tn+5，即m﹣3＞ 恒成立，故只需 ．令bn= ，研究其單調性即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．