Question

（2012•浦東新區一模）世博中學為了落實上海市教委推出的“陽光運動一小時”活動，計劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個占地面積為S的矩形AMPN健身場地，如圖點M在AC上，點N在AB上，且P點在斜邊BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x，x∈[10，20]．
（1）試用x表示S，并求S的取值范圍；
（2）設矩形AMPN健身場地每平方米的造價為

37k

S

，再把矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價為

12k

S

（k為正常數），求總造價T關于S的函數T=f（S）；試問如何選取|AM|的長使總造價T最低（不要求求出最低造價）．

Answer 1

分析：（1）根據題意，分析可得，欲求健身場地占地面積，只須求出圖中矩形的面積即可，再結合矩形的面積計算公式求出它們的面積即得，最后再根據二次函數的性質得出其范圍；
（2）對于（1）所列不等式，考慮到其中兩項之積為定值，可利用基本不等式求它的最大值，從而解決問題．

解答：解：（1）在Rt△PMC中，顯然|MC|=30-x，∠PCM=60°
∴|PM|=|MC|tan∠PCM=

3

（30-x），…2分
矩形AMPN的面積S=|PM||MC|=

3

x（30-x），x∈[10，20]…4分
于是200

3

≤S≤225

3

為所求．…6分
（2）矩形AMPN健身場地造價T₁=37k

S

 …7分
又△ABC的面積為450

3

，即草坪造價T₂=

12k

S

(450

3

-S）…8分
由總造價T=T₁+T₂，∴T=25k（

S

+

216 3

S

），200

3

≤S≤225

3

．…10分
∴T=25k（

S

+

216 3

S

），200

3

≤S≤225

3

∵

S

+

216 3

S

≥12

6 3

，…11分
當且僅當

S

=

216 3

S

即S=216

3

時等號成立，…12分
此時

3

x（30-x）=216

3

，解得x=12或x=18，
所以選取|AM|的長為12米或18米時總造價T最低．…14分．

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、基本不等式的應用、矩形的面積等基礎知識，屬于基礎題．