Question

（2013•昌平區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=（2

3

sinx-2cosx）•cosx+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[

π

4

，

π

2

]上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為 2sin（2x-

π

6

），再根據(jù)三角函數(shù)的周期性求得f（x）的最小正周期．
（II）由 x∈[

π

4

，

π

2

]，可得 2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，再由正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)的最值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=（2

3

sinx-2cosx）•cosx+1=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）．…（5分）
所以，f（x）的最小正周期 T=

2π

2

=π．…（7分）
（II）由 x∈[

π

4

，

π

2

]，可得 2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，…..（9分）
當(dāng)2x-

π

6

=

5π

6

 時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為1，…．（11分）
當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為2．…．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．