Question

（2012•江門一模）已知橢圓C的中心在原點，長軸在x軸上，經過點A（0，1），離心率e=

2

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l_n：y=

1

n+1

（n∈N*）與橢圓C在第一象限內相交于點A_n（x_n，y_n），記an=

1

2

x

2 n

，試證明：對?n∈N*，a1•a2•…•an＞

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的標準方程及其離心率計算公式及即可得出a，b；
（2）把直線的方程與橢圓的方程聯立即可解得點，進而得到，令n分別取1，2，…，n．再相乘通過放縮即可得出結論．

解答：（1）解：依題意，設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則

1 b2 =1 e= c a = a2-b2 a = 2 2

，解得b=1，a=

2

，
橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）證明：

x2 2 +y2=1 y= 1 n+1

，得xn2=

2n(n+2)

(n+1)2

，
an=

1

2

x

2 n

=

n(n+2)

(n+1)2

，
所以a1•a2•…•an=

1×3

22

×

2×4

32

×

3×5

42

×…×

n(n+2)

(n+1)2

=

1×(n+2)

2(n+1)

＞

1

2

．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、數列不等式等基礎知識與基本技能，考查了推理能力、計算能力及綜合解決問題的能力．