Question

【題目】設函數f（x）= （Ⅰ）當 時，求函數f（x）的值域；
（Ⅱ）若函數f（x）是（﹣∞，+∞）上的減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a= 時，f（x）= ， 當x＜1時，f（x）=x2﹣3x是減函數，所以f（x）＞f（1）=﹣2，即x＜1時，f（x）的值域是（﹣2，+∞）．
當x≥1時，f（x）= 是減函數，所以f（x）≤f（1）=0，即x≥1時，f（x）的值域是（﹣∞，0]．
于是函數f（x）的值域是（﹣∞，0]∪（﹣2，+∞）=R．
（Ⅱ）若函數f（x）是（﹣∞，+∞）上的減函數，則下列①②③三個條件同時成立：
①當x＜1，f（x）=x2﹣（4a+1）x﹣8a+4是減函數，于是 ≥1，則a≥ ．
②x≥1時，f（x）= 是減函數，則0＜a＜1．
③12﹣（4a+1）1﹣8a+4≥0，則a≤ ．
于是實數a的取值范圍是[ ， ]
【解析】（Ⅰ）a= 時，f（x）= ，當x＜1時，f（x）=x2﹣3x是減函數，可求此時函數f（x）的值域；同理可求得當x≥1時，減函數f（x）= 的值域；（Ⅱ）函數f（x）是（﹣∞，+∞）上的減函數，三個條件需同時成立，① ≥1，②0＜a＜1，③12﹣（4a+1）1﹣8a+4≥0，從而可解得實數a的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的性質(函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集)，還要掌握函數的值(函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法)的相關知識才是答題的關鍵．