Question

（2012•泉州模擬）（1）選修4-2：矩陣與變換
若二階矩陣M滿足M

1 2 3 4

=

7 10 4 6

．
（Ⅰ）求二階矩陣M；
（Ⅱ）把矩陣M所對應的變換作用在曲線3x²+8xy+6y²=1上，求所得曲線的方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為

x=2tcosθ y=2sinθ

（t為非零常數，θ為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的方程為ρsin(θ-

π

4

)=2

2

．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程并說明曲線的形狀；
（Ⅱ）是否存在實數t，使得直線l與曲線C有兩個不同的公共點A、B，且

OA

•

OB

=10（其中O為坐標原點）？若存在，請求出；否則，請說明理由．
（3）選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值為m，實數a，b，c，n，p，q滿足a²+b²+c²=n²+p²+q²=m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求證：

n4

a2

+

p4

b2

+

q4

c2

≥2．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）記矩陣A=

1 2 3 4

，可得|A|=-2，A^-1，再根據M=

7 10 4 6

A-1運算求得結果．
（Ⅱ）設二階矩陣M所對應的變換為

x′ y′

=

1 2 1 1

x y

，可得

x′=x+2y y′=x+y

，代入曲線方程3x²+8xy+6y²=1，
化簡可得x'²+2y'²=1．由可求得曲線的方程．
（2）（Ⅰ）由于t≠0，可將曲線C的方程化為普通方程：

x2

t2

+y2=4，分t=±1和t≠±1時，分別討論曲線
的形狀．
（Ⅱ）求出直線l的普通方程，與曲線的方程聯立方程組，由判別式大于零解得t²＞3，利用韋達定理求出
x1+x2=-

8t2

1+t2

，x1x2=

12t2

1+t2

，代入

OA

•

OB

=10 求得t²=3，出現矛盾，從而得出結論．
（3）（Ⅰ）利用絕對值的幾何意義可得 f（x）的最小值等于2，再由函數f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值為m，從而得到m的值等于2．
（Ⅱ）把不等式左邊化為[(

n2

a

)2+(

p2

b

)2+(

q2

c

)2] 乘以（a²+b²+c²），再利用基本不等式證得結論．

解答：（1）解：（Ⅰ）記矩陣A=

1 2 3 4

，故|A|=-2，故A-1=

-2 1 3 2 - 1 2

．…（2分）
由已知得M=

7 10 4 6

A-1=

7 10 4 6

-2 1 3 2 - 1 2

=

1 2 1 1

．…（3分）
（Ⅱ）設二階矩陣M所對應的變換為

x′ y′

=

1 2 1 1

x y

，得

x′=x+2y y′=x+y

，
解得

x=-x′+2y′ y=x′-y′

，…（5分）
又3x²+8xy+6y²=1，故有3（-x'+2y'）²+8（-x'+2y'）（x'-y'）+6（x'-y'）²=1，
化簡得x'²+2y'²=1． 故所得曲線的方程為x²+2y²=1．…（7分）
（2）解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可將曲線C的方程化為普通方程：

x2

t2

+y2=4．…（1分）
①當t=±1時，曲線C為圓心在原點，半徑為2的圓；  …（2分）
②當t≠±1時，曲線C為中心在原點的橢圓．…（3分）
（Ⅱ）直線l的普通方程為：x-y+4=0．…（4分）
聯立直線與曲線的方程，消y得

x2

t2

+(x+4)2=4，化簡得（1+t²）x²+8t²x+12t²=0．
若直線l與曲線C有兩個不同的公共點，則△=64t⁴-4（1+t²）•12t²＞0，解得t²＞3．…（5分）
又x1+x2=-

8t2

1+t2

，x1x2=

12t2

1+t2

，…（6分）
故

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+4)(x2+4)=2x₁x₂+4（x₁+x₂）+16=10．
解得t²=3與t²＞3相矛盾． 故不存在滿足題意的實數t．…（7分）
（3）解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，…（2分）當且僅當2≤x≤4時，等號成立．
再由函數f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值為m，可得m=2．…（3分）
（Ⅱ）[(

n2

a

)2+(

p2

b

)2+(

q2

c

)2]•(a2+b2+c2)≥(

n2

a

•a+

p2

b

•b+

q2

c

•c)2，…（5分）
即：(

n4

a2

+

p4

b2

+

q4

c2

)×2≥（n²+p²+q²）²=4，
故

n4

a2

+

p4

b2

+

q4

c2

≥2．…（7分）

點評：本題主要考查矩陣、逆矩陣、曲線的線性變換等基礎知識．曲線的參數方程、直線的極坐標方程等基礎知識．絕對值的幾何意義、柯西不等式等基礎知識，考查運算求解能力以及推理論證能力，及函數與方程思想，屬于中檔題．