Question

（本題滿分16分）定義，，…，的“倒平均數(shù)”為（）．已知數(shù)列前項(xiàng)的“倒平均數(shù)”為，記（）．

（1）比較與的大小；

（2）設(shè)函數(shù)，對(duì)（1）中的數(shù)列，是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立？若存在，求出最大的實(shí)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．

（3）設(shè)數(shù)列滿足，（且），（且），且是周期為的周期數(shù)列，設(shè)為前項(xiàng)的“倒平均數(shù)”，求．

 

Answer 1

【答案】

（1）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由題意得，

所以，……（1分）

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而也滿足此式．

所以（）．……（1分）

所以，……（1分）

，因此．……（1分）

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，

即對(duì)任意恒成立，……（2分）

由（1）知數(shù)列是遞增數(shù)列，所以只要，即，（2分）

解得或．……（1分）

所以存在最大的實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立．…（1分）

（3）由，，得，……（1分）

① 若，則，，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052412314218758807/SYS201205241233198593273572_DA.files/image033.png">周期為，故，所以，所以，（舍），故．

此時(shí)，為，，，，，，…．符合題意．……（1分）

② 若，則，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052412314218758807/SYS201205241233198593273572_DA.files/image033.png">周期為，故，

所以，即或，解得或，均不合題意．…（1分）

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則對(duì)，有……（1分）

即 所以 因此．（2分）

 

【解析】略