Question

已知△ABC的三邊a，b，c和其面積S滿足S=c²-（a-b）²且a+b=2，則S的最大值為（　　）

• A．

  8

  17

• B．

  6

  17

• C．

  5

  17

• D．

  4

  17

Answer 1

分析：由S=

1

2

ab•sinC=c²-（a-b）² 以及余弦定理可得cosC=-

15

17

，sinC=

8

17

．再由基本不等式求得S的最大值．

解答：解：由題意可得 S=

1

2

ab•sinC=c²-（a-b）²=c²-a²-b²+2ab． 又由余弦定理可得 c²=a²+b²-2ab•cosC，
由此可得 sinC=4（1-cosC），兩邊平方后化簡可得 （1-cosC）（15+17cosC）=0，∴cosC=-

15

17

，或 cosC=1 （舍去）．
∴sinC=

8

17

．
再由a+b≥2

ab

，可得ab≤1，當且僅當a=b時，取等號．
∴S=

1

2

ab•sinC=

4

17

ab≤

4

17

，即S的最大值為

4

17

．
故選D．

點評：本題主要考查余弦定理的應用，同角三角函數的基本關系，基本不等的應用，屬于中檔題．