Question

【題目】若對(duì)任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得數(shù)列的前項(xiàng)和，則稱(chēng)是“回歸數(shù)列”．

（）①前項(xiàng)和為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”？并請(qǐng)說(shuō)明理由．②通項(xiàng)公式為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”？并請(qǐng)說(shuō)明理由；

（）設(shè)是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，若是“回歸數(shù)列”，求的值．

（）是否對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“回歸數(shù)列”和，使得成立，請(qǐng)給出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（）見(jiàn)解析;（）;（）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析： 利用當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， 即可得到，再利用“回歸數(shù)列”的意義即可得出；②， ， 為偶數(shù)，即可證明數(shù)列是“回歸數(shù)列”

利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和即可得到，對(duì)任意，存在，使，取時(shí)和根據(jù)即可得出結(jié)論

設(shè)等差數(shù)列的公差為，構(gòu)造數(shù)列， ，可證明和是等差數(shù)列。再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及其通項(xiàng)公式，“回歸數(shù)列”，即可得出；

解析：（）①當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，

∴數(shù)列是“回歸數(shù)列”．

②，前項(xiàng)和，

∵為偶數(shù)，

∴存在，

即，使，

∴數(shù)列是“回歸數(shù)列”．

（），

對(duì)任意，存在，使，

即，

取時(shí)，得，解得，

∵，

∴，

又，

∴，

∴．

（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，令，

對(duì)， ，

令，則對(duì)， ，

則，且數(shù)列和是等差數(shù)列，

數(shù)列的前項(xiàng)和，

令，則，

當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ．

當(dāng)時(shí)， 與的奇偶性不同，

故為非負(fù)偶數(shù)，

∴，

∴對(duì)，都可找到，使成立，

即為“回歸數(shù)列”．

數(shù)列的前項(xiàng)和，

∴，

則，

∵對(duì)， 為非負(fù)偶數(shù)，

∴，

∴對(duì)，都可找到，使得成立，

即為“回歸數(shù)列”，

故命題得證．