Question

已知冪函數f（x）=（m²-m-1）x^3-2m在區間（0，+∞）上單調遞減．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數y=x²+（a-2）x+3是偶函數，且函數g(x)=

1

f2(x)

-

ab

f(x)

+5的定義域和值域均是[1，b]，求實數a、b的值．

Answer 1

分析：（1）根據冪函數的定義和單調性即可求出其解析式；
（2）利用偶函數先求出a的值，進而求出g（x）的表達式，再根據g（x）的單調性和定義域和值域均是[1，b]，求出即可．

解答：解：（1）∵冪函數f（x）在（0，+∞）上是減函數，
∴

m2-m-1=1 3-2m＜0

，∴

m=2或m=-1 m＞ 3 2

，∴m=2，∴f（x）=x^-1；
（2）∵y=x²+（a-2）x+3是偶函數，∴a-2=0，即a=2，又∵f（x）=x^-1，
∴g(x)=

1

f2(x)

-

ab

f(x)

+5=x²-2bx+5=（x-b）²+5-b²，又∵b＞1，
∴g（x）在[1，b]上是減函數，
∴

g(1)=b g(b)=1

，即

1-2b+5=b b2-2b2+5=1

，解得b=2，
綜上知，a=b=2．

點評：熟練掌握函數的奇偶性和單調性是解題的關鍵．