Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）滿足f（0）=0，對(duì)于任意x∈R都有f（x）≥x，且f（﹣ +x）=f（﹣ ﹣x），令g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上有兩個(gè)零點(diǎn)，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（0）=0，∴c=0．∵對(duì)于任意x∈R都有f（﹣ +x）=f（﹣ ﹣x），∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=﹣ ，即﹣ =﹣ ，得a=b．

又f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0對(duì)于任意x∈R都成立，∴a＞0，且△=（b﹣1）2≤0．∵（b﹣1）2≥0，∴b=1，a=1．∴f（x）=x2+x．

（2）解：解：g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|=

①當(dāng)x≥ 時(shí)，函數(shù)g（x）=x2+（1﹣λ）x+1的對(duì)稱軸為x= ，若 ≤ ，即0＜λ≤2，函數(shù)g（x）在（ ，+∞）上單調(diào)遞增；

則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，又g（0）=﹣1＜0，g（1）=2﹣|λ﹣1|＞0，故函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上只有一個(gè)零點(diǎn)．

②若 ＞ ，即λ＞2，函數(shù)g（x）在（ ，+∞）上單調(diào)遞增，在（ ， ）上單調(diào)遞減．

此時(shí) ＜ ＜1，而g（0）=﹣1＜0，g（ ）= + ＞0，g（1）=2﹣|λ﹣1|，

（ⅰ）若2＜λ≤3，由于 ＜ ≤1，且g（ ）=（ ）2+（1﹣λ） +1=﹣ +1≥0，此時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上只有一個(gè)零點(diǎn)；

（ⅱ）若λ＞3，由于 ＞1且g（1）=2﹣|λ﹣1|＜0，此時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)λ＞3時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

【解析】1、由題意可得f（0）=0，∴c=0．∵對(duì)于任意x∈R都有f（﹣ +x）=f（﹣ ﹣x），由對(duì)稱軸x=﹣ ，可得f（x）的對(duì)稱軸即得a=b，由題意可得f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0對(duì)于任意x∈R都成立，∴a＞0，且△=（b﹣1）2≤0．
2、由（1）可得g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|=.分情況討論
①當(dāng)x≥ 時(shí)，函數(shù)g（x）=x2+（1﹣λ）x+1的對(duì)稱軸為x= ,即
②當(dāng)x<，函數(shù)g（x）=x2+（1﹣λ）x+1的對(duì)稱軸為X=<同①的討論思路。
3、結(jié)合（2）中的單調(diào)區(qū)間即零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷函數(shù)g（x）的零點(diǎn)。
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．