Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；
（2）當時，求在上的最大值和最小值；
（3） 當時，求證：對大于1的任意正整數(shù)，都有。

Answer 1

（1）（2）最大值為，最小值為（3），
函數(shù)在上為增函數(shù)，當時，令
即 所以

試題分析：（1），
函數(shù)在上為增函數(shù)，對任意的恒成立，
對任意的恒成立，即任意的恒成立，…………2分
而當時，，                      ……………………4分
（2）當時，
當變化時，，的變化情況如下表

			1		2
			0
			0

因為
所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為 …………8分
（3）當時，，，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)
當時，令
即                  ……………………10分
所以
所以
即對大于1的任意正整數(shù)，都有。…………12分
點評：導數(shù)主要用于判定函數(shù)單調性，求最值，證明不等式恒成立，其中證明不等式或已知不等式恒成立求參數(shù)問題常轉化為求函數(shù)最值問題