Question

【題目】已知P是圓F1：（x+1）2+y2＝16上任意一點，F2（1，0），線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點Q，當點P在圓F1上運動時，記點Q的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）記曲線C與x軸交于A，B兩點，M是直線x＝1上任意一點，直線MA，MB與曲線C的另一個交點分別為D，E，求證：直線DE過定點H（4，0）.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據橢圓的定義即可求出點Q的軌跡方程；

（2）設出點M的坐標，表示出直線MA的方程，與橢圓方程聯立可求得點的坐標，同理可求得點的坐標，再利用三點共線的條件即可證出．

（1）由已知|QF1|+|QF2|＝|QF1|+|QP|＝|PF1|＝4，

所以點Q的軌跡為以為F1，F2焦點，長軸長為4的橢圓，

故2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3

所以曲線C的方程為

（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），設點M的坐標為（1，m）

直線MA的方程為：

將與聯立消去y整理得：（4m2+27）x2+16m2x+16m2﹣108＝0，

設點D的坐標為（xD，yD），則，

故，則

直線MB的方程為：y＝﹣m（x﹣2）

將y＝﹣m（x﹣2）與聯立消去y整理得：（4m2+3）x2﹣16m2x+16m2﹣12＝0

設點E的坐標為（xE，yE），則，

故，則

HD的斜率為

HE的斜率為

因為k1＝k2，所以直線DE經過定點H.