Question

設函數f（x）=|x²-4x-5|．
（1）在區間[-2，6]上畫出函數f（x）的圖象；
（2）設集合A={x|f（x）≥5}，B=（-∞，-2]∪[0，4]∪[6，+∞）．試判斷集合A和B之間的關系（要寫出判斷過程）；
（3）當k＞2時，求證：在區間[-1，5]上，y=kx+3k的圖象位于函數f（x）圖象的上方．

Answer 1

分析：（1）當x²-4x-5＞0時，f（x）=x²-4x-5；當x²-4x-5＜0時，f（x）=x²-4x-5，進而畫出圖象．
（2）先求出f（x）≥5的解集，再判斷集合A和B的關系．
（3）設函數g（x）=kx+3k-f（x），只要證明g（x）＞0恒成立即可．

解答：解：（1）設-2≤x≤6，當x²-4x-5≥0時，
即6≥x≥5或-1≥x≥-2時，f（x）=x²-4x-5=（x-2）²-9
當x²-4x-5＜0時，即-1＜x＜5時，f（x）=-（x²-4x-5）=-（x-2）²+9
故作圖如下：


（2）方程f（x）=5的解分別是2-

14

，0，4
和2+

14

，由于f（x）在（-∞，-1]和[2，5]上單調遞減，
在[-1，2]和[5，+∞）上單調遞增，
∴A=( -∞，  2-

14

 ]  ∪[ 0，  4 ]∪[ 2+

14

，  +∞ )．
由于2+

14

＜6，2-

14

＞-2
∴B?A．

（3）當x∈[-1，5]時，f（x）=-x²+4x+5．
g（x）=k（x+3）-（-x²+4x+5）=x²+（k-4）x+（3k-5）=(x-

4-k

2

)2-

k2-20k+36

4

，
∵k＞2，∴

4-k

2

＜1．又-1≤x≤5，
①當-1≤

4-k

2

＜1，即2＜k≤6時，
取x=

4-k

2

，g（x）_min=-

k2-20k+36

4

=-

1

4

[(k-10)2-64]．
∵16≤（k-10）²＜64，
∴（k-10）²-64＜0，則g（x）_min＞0．
②當

4-k

2

＜-1，即k＞6時，取x=-1，g（x）_min=2k＞0．
由①、②可知，當k＞2時，g（x）＞0，x∈[-1，5]．
因此，在區間[-1，5]上，y=k（x+3）的圖象位于函數f（x）圖象的上方．

點評：本題主要考查了函數圖象的應用．注意數形結合．