Question

設橢圓C₁：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為為，恰是拋物線C₂：的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且｜MF₂｜=．
（1）求C₁的方程；
（2）平面上的點N滿足，直線l∥MN，且與C₁交于A，B兩點，若，求直線l的方程．

Answer 1

（1）；（2）．

試題分析：（1）由拋物線的性質知其焦點為，這是橢圓的右焦點，因此有，點是拋物線上的點，而，可由拋物線的定義或拋物線焦半徑公式得點的橫坐標為，這樣點的縱坐標也能求得，而點又是橢圓上的點，可代入橢圓方程得到關于的一個方程，由此可求得，得方程；（2）由向量的坐標運算，根據，可得的坐標，于是直線的斜率可得，也即直線的斜率可得，于是可設直線的方程為（已求得），下面就采取處理直線與圓錐曲線相交問題的一般方法，設，由可得，而我們把直線方程代入橢圓方程，得到關于的二次方程，由此可得，，代入可求得．
（1）設點M(x,y) (y>0) 由拋物線定義得|MF₂|=1+x=，∴x=
又點M(x,y) 在拋物上所以y²=4, 
，由橢圓定義
所以橢圓的方程是                            4分
（2）


．

         12分