Question

（2013•廣東）設函數f（x）=（x-1）e^x-kx²（k∈R）．
（1）當k=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）當k∈(

1

2

，1]時，求函數f（x）在[0，k]上的最大值M．

Answer 1

分析：（1）利用導數的運算法則即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出實數根，通過列表即可得出其單調區間；
（2）利用導數的運算法則求出f′（x），令f′（x）=0得出極值點，列出表格得出單調區間，比較區間端點與極值即可得到最大值．

解答：解：（1）當k=1時，f（x）=（x-1）e^x-x²f'（x）=e^x+（x-1）e^x-2x=x（e^x-2）
令f'（x）=0，解得x₁=0，x₂=ln2＞0
所以f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數f（x）的單調增區間為（-∞，0）和（ln2，+∞），單調減區間為（0，ln2）
（2）f（x）=（x-1）e^x-kx²，x∈[0，k]，k∈(

1

2

，1]．
f'（x）=xe^x-2kx=x（e^x-2k）f'（x）=0，解得x₁=0，x₂=ln（2k）
令φ（k）=k-ln（2k），k∈(

1

2

，1]，φ′(k)=1-

1

k

=

k-1

k

≤0
所以φ（k）在(

1

2

，1]上是減函數，∴φ（1）≤φ（k）＜φ(

1

2

)，∴1-ln2≤φ（k）＜

1

2

＜k．
即0＜ln（2k）＜k
所以f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，ln（2k））	ln（2k）	（ln（2k），k）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

f（0）=-1，f（k）=（k-1）e^k-k³f（k）-f（0）=（k-1）e^k-k³+1=（k-1）e^k-（k³-1）=（k-1）e^k-（k-1）（k²+k+1）=（k-1）[e^k-（k²+k+1）]
因為k∈(

1

2

，1]，所以k-1≤0
對任意的k∈(

1

2

，1]，y=e^x的圖象恒在y=k²+k+1下方，所以e^k-（k²+k+1）≤0
所以f（k）-f（0）≥0，即f（k）≥f（0）
所以函數f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k-1）e^k-k³.

點評：熟練掌握導數的運算法則、利用導數求函數的單調性、極值與最值得方法是解題的關鍵．