Question

已知函數f(x)=ln(1+x)-

1

4

x2；
（1）求函數在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數在[0，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）f′（x）=

1

1+x

-

1

2

x，k=f’（0）=1，f（0）=0
∴函數在點（0，f（0））處的切線方程：y=x
（2）令f′（x）=0，即

1

1+x

-

1

2

x=0，化簡為x²+x-2=0，解得x₁=-2（舍去），x₂=1．
當0≤x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當1＜x≤2時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
所以f（1）=ln2-

1

4

為函數f（x）的極大值．
又因為f（0）=0，f（2）=ln3-1＞0，f（1）＞f（2），
所以f（0）=0為函數f（x）在[0，2]上的最小值，
f（1）=ln2-

1

4

為函數f（x）在[0，2]上的最大值．