Question

已知函數f（x）=x⁴+ax³+bx²+c，其圖象在y軸上的截距為-5，在區間[0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減，又當x=0，x=2時取得極小值．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）能否找到垂直于x軸的直線，使函數f（x）的圖象關于此直線對稱，并證明你的結論；
*（Ⅲ）設使關于x的方程f（x）=λ²x²-5恰有三個不同實根的實數λ的取值范圍為集合A，且兩個非零實根為x₁、x₂．試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+2≤|x₁-x₂|對任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數f（x）=x⁴+ax³+bx²+c，在y軸上的截距為-5，∴c=-5．
∵函數f（x）在區間[0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減，
∴x=1時取得極大值，又當x=0，x=2時函數f（x）取得極小值．
∴x=0，x=1，x=2為函數f（x）的三個極值點，
即f'（x）=0的三個根為0，1，2，∴f'（x）=4x³+3ax²+2bx=4x（x-1）（x-2））=4x³-12x²+8x．
∴a=-4，b=4，
∴函數f（x）的解析式：f（x）=x⁴-4x³+4x²-5．
（Ⅱ）若函數f（x）存在垂直于x軸的對稱軸，設對稱軸方程為x=t，
則f（t+x）=f（t-x）對x∈R恒成立．
即：（t+x）⁴-4（t+x）³+4（t+x）²-5=（t-x）⁴-4（t-x）³+4（t-x）²-5．
化簡得（t-1）x³+（t³-3t²+2t）x=0對x∈R恒成立．
∴∴t=1．
即函數f（x）存在垂直于x軸的對稱軸x=1．
（Ⅲ）x⁴-4x³+4x²-5=λ²x²-5恰好有三個不同的根，即x⁴-4x³+4x²-λ²x²=0恰好有三個不同的根，
即x²（x²-4x+4-λ²）=0，
∵x=0是一個根，
∴方程x²-4x+4-λ²=0應有兩個非零的不相等的實數根，
∴△=16-4（4-λ²）=4λ²＞0，且x₁x₂=4-λ²≠0，∴λ≠0，-2，2．
若存在實數m，使得不等式m²+tm+2≤|x₁-x₂|對任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立．
∵|x₁-x₂|==2|λ|＞0，
要使m²+tm+2≤|x₁-x₂|對任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立，只要m²+tm+2≤0對任意t∈[-3，3]恒成立，
令g（t）=tm+m²+2，則g（t）是關于t的線性函數．
∴只要解得，無解
∴不存在實數m，使得不等式m²+tm+2≤|x₁-x₂|對任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立．
分析：（Ⅰ）利用函數在y軸上的截距為-5，可求得c=-5．根據函數f（x）在區間[0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減，可得x=1時取得極大值，當x=0，x=2時函數f（x）取得極小值．可知x=0，x=1，x=2為函數f（x）的三個極值點，
從而f'（x）=0的三個根為0，1，2，∴由此可求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）假設存在對稱軸方程為x=t，則f（t+x）=f（t-x）對x∈R恒成立．代入化簡得（t-1）x³+（ t³-3 t²+2t）x=0對x∈R恒成立，從而可出對稱軸x=1．
（Ⅲ）x⁴-4x³+4x²-5=λ²x²-5恰好有三個不同的根，等價于x⁴-4x³+4x²-λ²x²=0恰好有三個不同的根，由于x=0是一個根，所以方程x²-4x+4-λ²=0應有兩個非零的不相等的實數根，從而可求λ的取值范圍．要使m²+tm+2≤|x₁-x₂|對任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立，可轉化為m²+tm+2≤0對任意t∈[-3，3]恒成立，構造函數g（t）=tm+m²+2，只要，從而可知不存在實數m，使得不等式m²+tm+2≤|x₁-x₂|對任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立．
點評：本題考查多項式的導數、函數的圖象性質、二次方程根的判斷，等價轉換、化歸思想等數學思想方法．解題時對恒成立問題的處理是關鍵．