Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2-2a2x+1   (a＞0)
（1）求函數f（x）的極值；
（2）若函數y=f（x）的圖象與直線y=0恰有三個交點，求實數a的取值范圍；
（3）已知不等式f'（x）＜x²-x+1對任意a∈（1，+∞）都成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值．
（2）先求出極大值與極小值，要使函數y=f（x）的圖象與值線y=0恰有三個交點，則函數y=f（x）的極大值大于零，極小值小于零即可．
（3）先進行化簡，然后變量分離，轉化成x＞

2a2+1

1-a

對任意a∈（1，+∞）都成立，則x大于

2a2+1

1-a

的最大值，利用基本不等式研究函數的最大值，求出變量x的范圍即可．

解答：解：（1）∵f′（x）=x²-ax-2a²，令f′（x）=x²-ax-2a²=0，則  x=-a或x=2a
f′（x）=x²-ax-2a²＞0時，x＜-a或x＞2a
x=-a時，f（x）取得極大值f（-a）=

7

6

a3+1，x=2a時，f（x）取極小值
f（2a）=-

10

3

a3+1
（2）要使函數y=f（x）的圖象與值線y=0恰有三個交點，則函數y=f（x）的極大值大于零，極小值小于零，由（1）的極值可得

7 6 a3 +1＞0 - 10 3 a3+1＜0

解之得a＞

3	3 10

=

3 300

10

（3）要使f′（x）＜x²-x+1對任意a∈（1，+∞）都成立
即x²-ax-2a²＜x²-x+1，
（1-a）x＜2a²+1
∵a∈（1，+∞）∴1-a＜0
x＞

2a2+1

1-a

對任意a∈（1，+∞）都成立，則x大于

2a2+1

1-a

的最大值
∵

2a2+1

1-a

=-

2(a-1)2+4(a-1)+3

a-1

=-[2(a-1)+

3

a-1

+4]
由a∈（1，+∞），a-1＞0，∴2(a-1)+

3

a-1

≥2

6

，
當且僅當a=1+

6

2

時取等號，∴

2a2+1

1-a

≤-(2

6

+4)
故x＞(

2a2+1

1-a

)max=-(4+2

6

)

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及函數恒成立問題，屬于難題．