Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為-5，求的值；

（Ⅱ）設(shè)，且有兩個極值點，.

（i）求實數(shù)的取值范圍；

（ii）證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）8；（Ⅱ）（i）；（ii）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）對求導，可得，單調(diào)遞增，得到最小值，從而得到的值.

（Ⅱ）（i）有兩個極值點，，通過參變分離轉(zhuǎn)化為有兩個不相等的實數(shù)根，再轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)交點問題，從而得到的取值范圍.

（ii）根據(jù)題意得到，，兩式相加、減消去，設(shè)構(gòu)造出關(guān)于的函數(shù)，利用導數(shù)得到單調(diào)性，進行證明.

解：（Ⅰ），

∵，，∴，

所以在區(qū)間上為單調(diào)遞增.

所以，

又因為，

所以的值為8.

（Ⅱ）（i）∵

，

且的定義域為，

∴.

由有兩個極值點，，

等價于方程有兩個不同實根，.

由得：.

令，

則，由.

當時，，則在上單調(diào)遞增；

當時，，則在上單調(diào)遞減.

所以，當時，取得最大值，

∵，∴當時，，當時，，

所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.

（ii）證明：不妨設(shè)，

且①，②，

①+②得： ③

②-①得： ④

③÷④得：，即，

要證：，

只需證.

即證：.

令，

設(shè)，

.

∴在上單調(diào)遞增，

∴，即，

∴.