Question

已知函數f（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-x+1，x∈R
（1）求函數f（x）的極大值和極小值；
（2）已知x∈R，求函數f（sinx）的最大值和最小值．
（3）若函數g（x）=f（x）+a的圖象與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數的解析式，求出導函數的值，進而分析函數的單調性和極值點，代入函數的解析式可得函數f（x）的極大值和極小值；
（2）由正弦函數值域可得sinx∈[-1，1]，結合（1）中函數的單調性分析函數f（x）在區間[-1，1]上的極值和端點的函數值，對照后可得答案．
（3）若函數g（x）=f（x）+a的圖象與x軸有且只有一個交點，故函數g（x）只有一個零點，即函數g（x）的極大值與極小值同號．

解答：解；（1）∵f（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-x+1，
∴f′（x）=2x²-x-1，
令f′（x）=0，則x=-

1

2

或x=1
由x＜-

1

2

或x＞1時，f′（x）＞0，此時函數為增函數；
-

1

2

＜x＜1時，f′（x）＜0，此時函數為減函數；
故當x=-

1

2

時，函數f（x）的極大值

31

24

當x=1時，函數f（x）的極小值

1

6

（2）令t=sinx，t∈[-1，1]
則f（sinx）=f（t）=

2

3

t3-

1

2

t2-t+1
由（1）可得f（t）在[-1，-

1

2

]上單調遞增，在[-

1

2

，1]上單調遞減
又∵f（-1）=

5

6

，f（-

1

2

）=

31

24

，f（1）=

1

6

故函數f（sinx）的最大值為

31

24

，最小值為

1

6

（3）若函數g（x）=f（x）+a的圖象與x軸有且只有一個交點，
則函數g（x）的極大值

31

24

+a與極小值

1

6

+a同號
即（

31

24

+a）（

1

6

+a）＞0
解得a＜-

31

24

或a＞-

1

6

點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區間上的最值，利用導數求極值，函數的零點，是導函數問題的綜合應用，難度中檔．