Question

【題目】如圖，已知兩條拋物線E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），過原點O的兩條直線l1和l2 ， l1與E1 ， E2分別交于A1、A2兩點，l2與E1、E2分別交于B1、B2兩點．

（1）證明：A1B1∥A2B2；
（2）過O作直線l（異于l1 ， l2）與E1、E2分別交于C1、C2兩點．記△A1B1C1與△A2B2C2的面積分別為S1與S2 ， 求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意可知，l1和l2的斜率存在且不為0，

設l1：y=k1x，l2：y=k2x．

聯立 ，解得 ．

聯立 ，解得 ．

聯立 ，解得 ．

聯立 ，解得 ．

∴ ，

．

，

∴A1B1∥A2B2；

（2）解：由（1）知A1B1∥A2B2，

同（1）可證B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2．

∴△A1B1C1∽△A2B2C2，

因此 ，

又 ，

∴ ．

故 ．

【解析】（1）由題意設出直線l1和l2的方程，然后分別和兩拋物線聯立求得交點坐標，得到 的坐標，然后由向量共線得答案；（2）結合（1）可知△A1B1C1與△A2B2C2的三邊平行，進一步得到兩三角形相似，由相似三角形的面積比等于相似比的平方得答案．