Question

【題目】如圖所示的幾何體中，．

(1)求證：平面ABCD；

(2)若，點(diǎn)F在EC上，且滿足EF=2FC，求二面角F—AD—C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）在中，根據(jù)已知的邊、角條件運(yùn)用余弦定理可得出，再由

，

得出平面ABE.，由線面垂直的性質(zhì)得，再根據(jù)線面垂直的判定定理得證；

（2）在以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出面的法向量，由（1）得平面ABCD，所以為平面ABCD的一個(gè)法向量，再根據(jù)向量的夾角公式求得二面角的余弦值.

（1）在中，

由余弦定理可得

所以，所以所以是直角三角形，.

又，所以平面ABE.

因?yàn)?/span>平面ABE，所以，因?yàn)?/span>,

所以平面ABCD.

（2）由（1）知，平面ABE，所以平面平面AEB，在平面ABE中，過點(diǎn)B作，則平面BEC，如圖，以B為原點(diǎn)，BE,BC所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則,

因?yàn)?/span>，所以，易知,

設(shè)平面ADF的法向量為

則

即令則

所以為平面ADF的一個(gè)法向量，

由（1）知平面ABCD，所以為平面ABCD的一個(gè)法向量.

設(shè)二面角的平面角為，

由圖知為銳角，則

所以二面角的余弦值為.