Question

已知函數f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+c在R上可導．
（1）若f（x）在區間[-1，2]上為減函數，且b=3a，求a的取值范圍；
（2）若f（x）的極大值點在（0，1）內，極小值點在（1，2）內，求

b-2

a-1

的取值范圍．

Answer 1

（1）∵當a≠0時，f′（x）=x²+ax+2b=x²+ax+6a，又f（x）在[-1，2]上為減函數，
∴f′（x）≤0對x∈[-1，2]恒成立，…（2分）
即x²+ax+6a≤0對x∈[-1，2]恒成立，
∴f′（-1）≤0且f′（2）≤0，…（4分）
即

1-a+6a≤0 4+2a+6a≤0

⇒

a≤- 1 5 a≤- 1 2

⇒a≤-

1

2

．…（6分）
（2）∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，
∴f′（x）=x²+ax+2b，…（8分）
由題意得

f′(0)=2b＞0 f′(1)=1+a+2b＜0 f′(2)=4+2a+2b＞0

畫出可行域：
于是

b-2

a-1

即為點P（1，2）與可行域內（不包含邊界）任意一點的連線的斜率．
∴k_PC＜

b-2

a-1

＜k_PA，即

1

4

＜

b-2

a-1

＜1．…（13分）