Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，an+1=

1

3

Sn，n=1，2，3，…，求
（Ⅰ）a₂，a₃，a₄的值及數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）a₂+a₄+a₆+…+a_2n的值．

Answer 1

分析：（I）由題設條件得a2=

1

3

S1=

1

3

a1=

1

3

，a3=

1

3

S2=

1

3

(a1+a2)=

4

9

，a4=

1

3

S3=

1

3

(a1+a2+a3)=

16

27

，再由an+1-an=

1

3

(Sn-Sn-1)=

1

3

an（n≥2），得an+1=

4

3

an（n≥2），由此能夠求出數列{a_n}的通項公式．
（ II）由（ I）可知a₂，a₄，…，a_2n是首項為

1

3

，公比為(

4

3

)2項數為n的等比數列，由此能求出a₂+a₄+a₆+…+a_2n的值．

解答：解：（I）由a₁=1，an+1=

1

3

Sn，n=1，2，3，…，
得a2=

1

3

S1=

1

3

a1=

1

3

，a3=

1

3

S2=

1

3

(a1+a2)=

4

9

，a4=

1

3

S3=

1

3

(a1+a2+a3)=

16

27

，（3分）
由an+1-an=

1

3

(Sn-Sn-1)=

1

3

an（n≥2），得an+1=

4

3

an（n≥2），（6分）
又a₂=

1

3

，所以a_n=

1

3

(

4

3

)n-2（n≥2），（8分）
∴數列{a_n}的通項公式為an=

1 n=1 1 3 ( 4 3 )n-2 n≥2

；（9分）

（ II）由（ I）可知a₂，a₄，…，a_2n是首項為

1

3

，公比為(

4

3

)2項數為n的等比數列，（11分）
∴a₂+a₄+a₆+…+a_2n=

1

3

•

1-( 4 3 )2n

1-( 4 3 )2

=

3

7

[(

4

3

)2n-1]（13分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用．