Question

設函數(shù)f（x）=msinx+cosx的圖象經(jīng)過點（

π

2

，1）．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式，并求函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）若f（

π

12

）=

2

sinA，其中A是面積為

3 2

2

的銳角△ABC的內角，且AB=2，求邊AC的長．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=msinx+cosx的圖象經(jīng)過點（

π

2

，1），求得m=1，可得f（x）的解析式為

2

sin（x+

π

4

），從而求得函數(shù)的周期．
（Ⅱ）根據(jù) f（

π

12

）=

2

sinA，A為銳角，求得 A的值，再由AB=2，三角形的面積為

3 2

2

=

1

2

•AB•AC•sinA，求得邊AC的長．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=msinx+cosx的圖象經(jīng)過點（

π

2

，1），∴m+0=1，解得m=1，∴f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）．
它的最小正周期等于 2π．
（Ⅱ）∵f（

π

12

）=

2

sin（

π

12

+

π

4

）=

2

sinA，A為銳角，∴A=

π

12

+

π

4

=

π

3

．
再由AB=2，三角形的面積為

3 2

2

=

1

2

•AB•AC•sinA=AC•

3

2

，可解得 AC=

6

．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，三角函數(shù)的周期性與求法，三角形的面積公式，屬于中檔題．