Question

【題目】已知梯形中，，，是的中點.，、分別是、上的動點，且，設（），沿將梯形翻折，使平面平面，如圖.

（1）當時，求證：；

（2）若以、、、為頂點的三棱錐的體積記為，求的最大值；

（3）當取得最大值時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）如圖所示：于，連接，證明，得到平面，得到證明.

（2）計算得到，根據二次函數性質得到答案.

（3）如圖所示：以為軸建立空間直角坐標系，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，計算向量夾角得到答案.

（1）如圖所示：于，連接，

平面平面，，故平面，平面，

故，易知為正方形，故，，

故平面，平面，故.

（2），

故.

（3）如圖所示：以為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

易知平面的一個法向量為，

設平面的一個法向量為，則，即，

取，得到，故，

觀察知二面角的平面角為鈍角，故余弦值為.