Question

在經濟快速發展過程中．乙工廠（以下簡稱乙方）生產須占用甲農場（以下簡稱甲方）的資源，因此甲方有權向乙方索賠以彌補經濟損失并獲得一定的凈收入．已知在不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x（元）與年產t（噸）滿足函教關系x=2000．甲方每年受乙方生產影響的經濟損失金額y=0.002t²（元），且乙方每生產一噸產品必須賠付甲方s元（以下s為賠付價格）．
（1）求乙方獲得最大利潤時的年產t（噸）與賠付價格s（元）滿足的關系式；
（2）若在乙方按照獲得最大利潤的年產量進行生產的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格s是多少？

Answer 1

解：（1）因為賠付價格為s元/噸，所以乙方的實際年利潤為w=2000-st．
由w′=-s=，
令w'=0，得t=t₀=（）²．
當t＜t₀時，w'＞0；當t＞t₀時，w'＜0，
所以t=t₀時，w取得最大值．
因此乙方取得最大年利潤的年產量t₀為（）²（噸）；
∴乙方獲得最大利潤時的年產t（噸）與賠付價格s（元）滿足的關系式t=（）²（噸）；
（2）設甲方凈收入為v元，則v=st-0.002t²．
將t=（）²代入上式，得到甲方凈收入v與賠付價格s之間的函數關系式v=-×109．
又v′=，
令v'=0，得s=20．
當s＜20時，v'＞0；當s＞20時，v'＜0，
所以s=20時，v取得最大值．
因此甲方應向乙方要求賠付價格s=20（元/噸）時，獲最大凈收入．
分析：（1）由已知中賠付價格為s元/噸，所以乙方的實際年利潤為w=2000-st．利用導數法易求出乙方取得最大年利潤的年產量，從而得出乙方獲得最大利潤時的年產t（噸）與賠付價格s（元）滿足的關系式；
（2）由已知得，若甲方凈收入為v元，則v=st-0.002t²．再由x=2000．可以得到甲方凈收入v與賠付價格s之間的函數關系式，利用導數法，求出答案．
點評：函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．