Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n項和S_n滿足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數列{a_n}為等差數列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=2n•an，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）設cn=4n+(-1)n-1λ•2an（λ為非零整數，n∈N^*），試確定λ的值，使得對任意n∈N^*，有c_n+1＞c_n恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數列遞推式，變形可得（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1，由此可得結論；
（Ⅱ）利用錯位相減法，可求數列{b_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）要使c_n+1＞c_n恒成立，則cn+1-cn=4n+1-4n+(-1)nλ•2n+2-(-1)n-1λ•2n+1＞0恒成立，分類討論，分離參數，可得結論．

解答：（Ⅰ）證明：由已知，（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*），
即a_n+1-a_n=1（n≥2，n∈N^*），且a₂-a₁=1．
∴數列{a_n}是以a₁=2為首項，公差為1的等差數列，
∴a_n=n+1． …（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知bn=(n+1)•2n，設它的前n項和為T_n
∴T_n=2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ①
∴2T_n=2×2³+3×2³+…+（n+1）×2ⁿ⁺¹②
①-②可得：-T_n=2×2¹+2²+…+2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹=-n×2ⁿ⁺¹
∴T_n=n×2ⁿ⁺¹；…（8分）
（Ⅲ）解：∵a_n=n+1，∴cn=4n+(-1)n-1λ•2n+1，
要使c_n+1＞c_n恒成立，則cn+1-cn=4n+1-4n+(-1)nλ•2n+2-(-1)n-1λ•2n+1＞0恒成立
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．
（ⅰ）當n為奇數時，即λ＜2^n-1恒成立，當且僅當n=1時，2^n-1有最小值為1，∴λ＜1．
（ⅱ）當n為偶數時，即λ＞-2^n-1恒成立，當且僅當n=2時，-2^n-1有最大值-2，∴λ＞-2．
即-2＜λ＜1，又λ為非零整數，則λ=-1．
綜上所述，存在λ=-1，使得對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n．…（14分）

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．