Question

19.設橢圓方程為x²+=1,過點M（0,1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足=（+），點N的坐標為（,）.當l繞點M旋轉時，求：

（Ⅰ）動點P的軌跡方程；

（Ⅱ）||的最小值與最大值.

Answer 1

19.本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質等基礎知識，以及軌跡的求法與應用、曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.

（Ⅰ）解法一：直線l過點M（0,1），設其斜率為k,則l的方程為y=kx+1.

記A（x₁,y₁）、B（x₂, y₂）,由題設可得點A、B的坐標（x₁,y₁）、（x₂,y₂）是方程組

的解.                                                                    

將①代入②并化簡得，（4+k²）x²+2kx－3=0,所以

于是

=（+）=（，）=（，）.

設點P的坐標為（x,y），則

消去參數k得

4x²+y²－y=0.                                                                        ③

當k不存在時，A、B中點為坐標原點（0,0），也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為

4x²+y²－y=0.                                                         

解法二：設點P的坐標為（x, y），因A（x₁, y₁）、B（x₂, y₂）在橢圓上，所以

x₁²+=1,                                                                                 ④

x₂²+=1.                                                                                ⑤

④－⑤得x₁²－x₂²+（y₁²－y₂²）=0,所以

（x₁－x₂）（x₁+x₂）+（y₁－y₂）（y₁+y₂）=0.

當x₁≠x₂時，有

x₁+x₂+（y₁+y₂）·=0，                                        ⑥

并且

                                                              ⑦

將⑦代入⑥并整理得

4x²+y²－y=0.                                                                     ⑧

當x₁=x₂時，點A、B的坐標為（0,2）、（0,－2），這時點P的坐標為（0,0）也滿足⑧，所以點P的軌跡方程為

+=1.　　                         

（Ⅱ）解：由點P的軌跡方程知x²≤,即－≤x≤.所以

|| ²=（x－）²+（y－）²=（x－）²+－4x²=－3（x+）²+.              

 故當x=時，||取得最小值，最小值為；當x=－時，||取得最大值，最大值為.