Question

(08年紹興一中三模)   如圖，已知矩形ABCD，PA⊥平面AC于點A，M、N分別是AB、PC的中點.

⑴求證：MN⊥AB；

⑵若平面PDC與平面ABCD所成的二面角為，能否確定，使得直線MN是異面直線AB與PC的公垂線？若能確定，求出的值；若不能確定，說明理由.

 

Answer 1

解析：證明：（1）取CD的中點K，連MK、NK，∵AM=BM，DK=CK，

∴MK=AD，且MK∥AD.   ∵AB⊥AD，∴AB⊥MK.

∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，  ∴PD⊥AB.   ∵PN=CN，DK=CK，

∴NK∥PD.∴AB⊥NK，又MK∩NK=K， ∴AB⊥平面MNK，   ∴AB⊥MN.    

（2）解：由（1）得MN⊥AB，故MN為AB和PC的公垂線當且僅當MN⊥PC.

∵PN=CN，∴MN⊥PCPM=CM      ①

∵AM=BM，∴①PA=BC.  ②    ∵BC=AD，   ∴②PA=AD.

又∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴PD⊥CD.  ∴∠ADP為二面角A―CD―P的平面角.

從而PA=AD△PAD為等腰直角三角形∠ADP=，

    ∴存在θ=使MN為AB與PC的公垂線.