Question

【題目】如圖，已知橢圓的中心在原點，長軸左、右端點、在軸上，橢圓的短軸為，且、的離心率都為，直線, 與交于兩點，與交于兩點，這四點縱坐標從大到小依次為、、、.

（1）設，求與的比值；

（2）若存在直線,使得，求兩橢圓離心率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】試題分析：

(1)利用題意寫出A,B兩點的坐標，結合縱坐標的值求解與的比值即可；

(2) 時的不符合題意，否則，利用直線的斜率相等得出關于離心率 的不等式，求解不等式即可球的最終結果.

試題解析：

（1）因為、的離心率相同，

故依題意可設.

設直線分別和、的方程聯立，求得.

當時， ，分別用、表示、的縱坐標，可知.

（2）時的不符合題意， 時， ，當且僅當的斜率與的斜率相等，即：

，解得.

因為，又，所以，解得.

∴當時，存在直線,使得，即離心率的取值范圍是.