Question

（2007•閔行區(qū)一模）（文）已知△ABC頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A（a，4）、B（0，b）、C（c，0）．
（1）若a=1，b=2，且

AB

•

AC

=0；求c的值；
（2）若虛數(shù)x=a+i是實(shí)系數(shù)方程x²-6x+2c=0的根，且b=0，求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，表示出兩個(gè)向量的數(shù)量積，得到關(guān)于c的方程，解方程即可．
（2）x=a-i也是實(shí)系數(shù)方程x²-6x+2c=0的根，由韋達(dá)定理，得a=3，c=5，寫(xiě)出向量的坐標(biāo)，求出兩個(gè)向量的夾角余弦，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系求出結(jié)果．

解答：解：（1）

AB

=(-1， -2)，

AC

=(c-1， -4)（2分）
由 

AB

•

AC

=1-c+8=0，（4分）
解得 c=9（6分）
（2）x=a-i也是實(shí)系數(shù)方程x²-6x+2c=0的根，
由韋達(dá)定理，得a=3，c=5，（8分）

AB

=(-3， -4)，

AC

=(2， -4)（10分）
cosA=

AB • AC

| AB || AC |

=

-6+16

5•2 5

=

1

5

（12分）
∴sinA=

1-cos2A

=

1- 1 5

=

2 5

5

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題看出向量的數(shù)量積的運(yùn)算和實(shí)系數(shù)一元二次方程的解的情況，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于實(shí)系數(shù)的一元二次方程求解時(shí)注意兩個(gè)復(fù)根之間的關(guān)系是互為共軛復(fù)數(shù)．