Question

（理）已知函數(shù)g（x）=1-cos（

π

2

x+2ψ）（0＜ψ＜

π

2

）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，2），若有4個(gè)不同的正數(shù)x_i 滿足g（x_i）=M，且x_i＜8（i=1，2，3，4），則x₁+x₂+x₃+x₄等于（　　）

A．12

B．20

C．12或20

D．無(wú)法確定

Answer 1

分析：先由g（x）過(guò)點(diǎn)（1，2），求得φ，進(jìn)而求得函數(shù)g（x），再由g（x）=M 在兩個(gè)周期之內(nèi)有四個(gè)解，則在在一個(gè)周期內(nèi)必有兩個(gè)解，表示出四個(gè)解來(lái)相加可得．

解答：解：因?yàn)椋汉瘮?shù)g（x）=1-cos（

π

2

x+2ψ）（0＜ψ＜

π

2

）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，2），
∴1-cos（

π

2

+2φ）=2，
∴sin2φ=1，
∴φ=

π

4

∴g（x）=1-cos（

π

2

x-

π

2

）=1-sin

π

2

x．
∵g（x）=M 在兩個(gè)周期之內(nèi)竟然有四個(gè)解，
∴sin

π

2

x=1-M在一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)解
當(dāng)1-M＞0時(shí)，四個(gè)根中其中兩個(gè)關(guān)于x=11對(duì)稱(chēng)，另兩個(gè)關(guān)于x=5對(duì)稱(chēng)，故其和為2×1+5×2=12．
 當(dāng)1-M＜0時(shí)，四個(gè)根中其中兩個(gè)關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，另兩個(gè)關(guān)于x=7對(duì)稱(chēng)，故其和為2×3+7×2=20．
綜上得：x₁+x₂+x₃+x₄=12或20．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的周期性及三角方程有多解的特性，但都有相應(yīng)的規(guī)律，與周期有關(guān)．