Question

求滿足下列條件的曲線方程：
（1）經過兩點P(-2

3

，1)，Q(

3

，-2)的橢圓的標準方程；
（2）與雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1有公共漸近線，且經過點（-3，2

3

）的雙曲線的標準方程；
（3）焦點在直線x+3y+15=0上的拋物線的標準方程．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓方程，代入點的坐標，建立方程組，即可求得橢圓的標準方程．
（2）據共漸近線的雙曲線的方程的一般形式設出雙曲線的方程，將點的坐標代入求出待定系數λ，即得到要求的雙曲線方程．
（3）分焦點在x軸和y軸兩種情況分別求出焦點坐標，然后根據拋物線的標準形式可得答案．

解答：解：（1）依題意，可設橢圓的方程為

x2

m

+

y2

n

=1（m＞0，n＞0），則
∴橢圓經過兩點P(-2

3

，1)，Q(

3

，-2)，
∴

12

m

+

1

n

=1且

3

m

+

4

n

=1
∴m=15，n=5
∴經過兩點P(-2

3

，1)，Q(

3

，-2)的橢圓的標準方程為

x2

15

+

y2

5

=1；
（2）設所求雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

16

=λ（λ≠0），
將點（-3，2

3

）代入得λ=

1

4

，
所求雙曲線的標準方程為

4x2

9

-

y2

4

=1；
（3）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15；
∴拋物線的焦點坐標為：（-15，0），（0，-5）
當焦點為（-15，0）時，即

p

2

=15，
∴p=30，此時拋物線方程為：y²=-60x：
當焦點為（0，-5）時，即

p

2

=5，
∴p=10，此時拋物線方程為：x²=-20y；
故所求拋物線的標準方程為：y²=-60x 或x²=-20y．

點評：本題考查圓錐曲線的標準方程和簡單性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題．