【題目】在數列
中，已知
，
，
，設
為的前
項和．
（1）求證：數列
是等差數列；
（2）求；
（3）是否存在正整數
，
，
，使
成等差數列？若存在，求出，，的值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）詳見解析（2）
（3）
，
，
的值為
，
，
．
【解析】
試題分析：（1）證明數列為等差數列，一般方法為定義法，即利用相鄰兩項的差為常數進行論證：
（2）先確定
的通項公式：
，再求
，最后利用錯位相減法求和，注意相減時項的符號變化、項數的確定、最后結果得表示（3）存在性問題，一般以算代探：先根據
成等差數列得
，代入得
，通過研究
單調性，確定滿足條件解的范圍：當
時
，因此滿足條件的解
，經驗證滿足條件
試題解析：（1）證明：因為
，所以
，…………………2分
又因為
，所以
，
所以是首項為1，公差為
的等差數列． …………………………4分
（2）由（1）知，所以，………6分
所以
，
所以
，
兩式相減得
，
所以．…………………………………………………………………10分
（3）假設存在正整數，，
，使成等差數列，
則，即．
由于當
時，
，所以數列
單調遞減．
又
，所以
且
至少為2，所以
， ………………12分
．
①當
時，
，又
，
所以
，等式不成立．………………………………………14分
②當
時，
，
所以
，所以
，所以
(單調遞減，解唯一確定)．
綜上可知，，，的值為，，． ………………………………16分
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
分別為橢圓
左、右焦點，點
在橢圓上，且
軸，
的周長為6．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）
是橢圓
上異于點
的兩個動點，如果直線
與直線
的傾斜角互補，證明：直線
的斜率為定值，并求出這個定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在四棱錐
中，底面
是正方形， 
．
（1）如圖2，設點
為
的中點，點
為
的中點，求證: 
平面
；
（2）已知網格紙上小正方形的邊長為
，請你在網格紙上用粗線畫圖1中四棱錐
的府視圖（不需要標字母），并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高三文科
名學生參加了
月份的模擬考試，學校為了了解高三文科學生的數學、語文情況，利用隨機數表法從中抽取
名學生的成績進行統計分析，抽出的名學生的數學、語文成績如下表.
（1）將學生編號為:
, 若從第
行第列的數開始右讀，請你依次寫出最先抽出的 個人的編號(下面是摘自隨機用表的第四行至第七行)
（2）若數學優秀率為
，求
的值；
（3）在語文成績為良的學生中，已知
，求數學成績“優”比“良”的人數少的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了整頓食品的安全衛生，食品監督部門對某食品廠生產甲、乙兩種食品進行了檢測調研，檢測某種有害微量元素的含量，隨機在兩種食品中各抽取了10個批次的食品，每個批次各隨機地抽取了一件，下表是測量數據的莖葉圖（單位：毫克）.
規定：當食品中的有害微量元素的含量在
時為一等品，在
為二等品，20以上為劣質品.
（1）用分層抽樣的方法在兩組數據中各抽取5個數據，再分別從這5個數據中各選取2個，求甲的一等品數與乙的一等品數相等的概率；
（2）每生產一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣質品虧損20元，根據上表統計得到甲、乙兩種食品為一等品、二等品、劣質品的頻率，分別估計這兩種食品為一等品、二等品、劣質品的概率，若分別從甲、乙食品中各抽取1件，設這兩件食品給該廠帶來的盈利為
，求隨機變量的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，橢圓
：
的離心率為
，
是橢圓
的右焦點，直線
的斜率為
，
為坐標原點．
（1）求
的方程；
（2）設過點
的動直線
與
相交于
，
兩點，當
的面積最大時，求
的直線方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】重慶八中大學城校區與本部校區之間的駕車單程所需時間為
，
只與道路暢通狀況有關，對其容量為500的樣本進行統計，結果如下：
| 25 | 30 | 35 | 40 |
頻數（次） | 100 | 150 | 200 | 50 |
以這500次駕車單程所需時間的頻率代替某人1次駕車單程所需時間的概率．
（1）求
的分布列與
；
（2）某天有3位教師獨自駕車從大學城校區返回本部校區，記
表示這3位教師中駕車所用時間少于
的人數，求
的分布列與
；
（3）下周某天張老師將駕車從大學城校區出發，前往本部校區做一個50分鐘的講座，結束后立即返回大學城校區，求張老師從離開大學城校區到返回大學城校區共用時間不超過120分鐘的概率．
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