Question

(本小題滿分14分)已知函數(shù)，(x>0)．
（1）當(dāng)0<a<b，且f(a)=f(b)時(shí)，求的值 ；   
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，b（a<b），使得函數(shù)y=f(x)的定義域、值域都是[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）若存在實(shí)數(shù)a，b（a<b），使得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?[a，b]時(shí)，值域?yàn)?[ma，mb]，(m≠0)，求m的取值范圍．

Answer 1

（14分）（1）．
（2）不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b．
（3）

（14分）解：（1）∵x>0，∴
∴f(x)在（0，1）上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
由0<a<b，且f(a)=f(b)，可得 0<a1<b和．即．
……………………3分
（2）不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b．
若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)y=的定義域、值域都是[a，b]，
則a>0． 而
①當(dāng)時(shí)，在（0，1）上為減函數(shù)．
故    即 解得  a=b．
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．
②當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)．
故    即 
此時(shí)a，b是方程的根，此方程無實(shí)根．
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．
③當(dāng)，時(shí)，由于，而，
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．
綜上可知，不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．        …………………………8分
（3）若存在實(shí)數(shù)a，b（a<b），使得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇a，b]時(shí)，值域?yàn)閇ma，mb]．
則a>0，m>0．
①  當(dāng)時(shí)，由于f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，故．此時(shí)得a=b，不符合題意，所以a，b不存在．                              
②  當(dāng)，時(shí)，由（2）知0在值域內(nèi)，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有．
∵在上是增函數(shù)，
∴ 即   所以a、b是方程的兩個(gè)根．
即關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于或等于1的相異實(shí)根．
設(shè)這兩個(gè)根為、，則+=，·=．
∴      即   解得  ．
故m的取值范圍是．   ……………………………14分