Question

（2012•鹽城三模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y²=4x的焦點為F，點P在拋物線上，且位于x軸上方．若點P到坐標原點O的距離為4

2

，則過F、O、P三點的圓的方程是

x²+y²-x-7y=0

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線方程，求出焦點F的坐標和滿足條件|OP|=4

2

的P點的坐標，再設經(jīng)過F、O、P三點圓的一般式方程，將O、F、P坐標代入，解關于D、E、F的方程組，即可得到所求圓的方程．

解答：解：∵拋物線的方程為y²=4x，∴拋物線焦點為F（1，0）
設P（

t2

4

，t），則|OP|=

t4 16 +t2

=4

2

，解之得t=4（舍負），
∴P坐標為（4，4）
設經(jīng)過F、O、P三點的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將O（0，0），F(xiàn)（1，0），P（4，4）代入，得

F=0 1+D+F=0 16+16+4D+4E+F=0

，解之得D=-1，E=-7，F(xiàn)=0
∴經(jīng)過F、O、P三點的圓的方程為x²+y²-x-7y=0．
故答案為：x²+y²-x-7y=0

點評：本題給出過拋物線上一點和焦點的圓經(jīng)過坐標原點，求圓的一般式方程，著重考查了拋物線的標準方程和基本概念、圓的一般式方程等知識，屬于基礎題．