Question

已知圓滿足:①截y軸所得的弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3∶1,在滿足條件①②的所有圓中,求圓心到直線l:x-2y=0距離最小的圓的方程.

Answer 1

解析：方法一:設圓心C的坐標為(a,b),半徑為r,由題設知圓C截x軸所得劣弧所對的圓心角為90°,圓C截x軸所得弦長為r,所以r=|b|.?

又截y軸所得的弦長為2,所以r²=a²+1.所以2b²-a²=1.?

圓心C(a,b)到直線l:x-2y=0的距離即5d²=(a-2b)²=a²+4b²-4ab≥a²+4b²-2(a²+b²)=2b²-a²=1,當且僅當a=b時取等號,此時5d²=1,從而d取最小值.?

于是有r=.

所求圓的方程為(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2.?

方法二:由方法一,得

所以a-2b=±d,a=2b±d.

代入2b²-a²=1,得2b²±4bd+5d²+1=0.(*)?

將其視為關于b的一元二次方程,因為b∈R,?

所以Δ=8(5d²-1)≥0,即5d²≥1.?

從而d有最小值.代入(*)式,?

解得b=±1,a=±1,余下同方法一.