Question

【題目】已知函數.

(Ⅰ) 當時，求函數的單調區間；

(Ⅱ)求函數在區間上的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)的單調遞增區間為，單調遞減區間為.(Ⅱ) 見解析

【解析】

(Ⅰ)當時，求得函數的導數，利用導函數取值的正負，即可得出函數的單調性；

(Ⅱ)由 （Ⅰ）知，分類討論得到函數在區間上的單調性，即可求解函數的最大值，得到答案。

(Ⅰ)由題意，當時，函數，

則，

令，即，即，解得或，

所以函數在，上單調遞增，

令，即，即，解得，

所以函數在上單調遞減。

即函數 的單調遞增區間為，的單調遞減區間為.

(Ⅱ) 由函數，則，

令，即，即，解得或，

（1）當，即時，此時當時，，所以在上單調遞減，所以最大值為；

（2）當，即時，

①當時，即時，此時當時，，所以在上單調遞減，所以最大值為；

②當時，即時，此時當時，，所以在上單調遞增，當時，，所以在上單調遞減，所以最大值為；

③當時，即時，此時當時，，所以在上單調遞增，所以最大值為；

（3）當時，函數在區間上單調遞減，最大值為，

綜上所述，可得：

當時，；

當時，；

當時，.