Question

將正數(shù)數(shù)列{a_n}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成數(shù)表，如圖所示．記表中各行的第一個數(shù)a₁，a₂，a₄，a₇，…構(gòu)成數(shù)列為{b_n}，各行的最后一個數(shù)a₁，a₃，a₆，a₁₀，…構(gòu)成數(shù)列為{c_n}，第n行所有數(shù)的和為s_n（n=1，2，3，4，…）．已知數(shù)列{b_n}是公差為d的等差數(shù)列，從第二行起，每一行中的數(shù)按照從左到右的順序每一個數(shù)與它前面一個數(shù)的比是常數(shù)q，且a1=a13=1，a31=

5

3

．
（1）求數(shù)列{c_n}，{s_n}的通項公式．
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n的表達式．

Answer 1

分析：（1）利用表中各行的第一個數(shù)a₁，a₂，a₄，a₇，…構(gòu)成數(shù)列為{b_n}，可得b_n=dn-d+1，前n行共有1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

個數(shù)，再結(jié)合a1=a13=1，a31=

5

3

，可求數(shù)列{b_n}，{c_n}，{s_n}的通項公式；
（2）根據(jù)數(shù)列{c_n}的通項特點，利用錯位相減法，可求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n的表達式．

解答：解：（1）∵表中各行的第一個數(shù)a₁，a₂，a₄，a₇，…構(gòu)成數(shù)列為{b_n}，
∴b_n=dn-d+1，前n行共有1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

個數(shù)，
因為13=

4×5

2

+3，所以a13=b5×q2，即（4d+1）q²=1
又因為31=

7×8

2

+3，所以a31=b8×q2，即(7d+1)q2=

5

3

，
解得：d=2，q=

1

3

，…（4分）
所以：b_n=2n-1，
∵各行的最后一個數(shù)a₁，a₃，a₆，a₁₀，…構(gòu)成數(shù)列為{c_n}，
∴cn=bn(

1

3

)n-1=

2n-1

3n-1

，
∵第n行所有數(shù)的和為s_n，
∴Sn=

(2n-1)(1- 1 3n )

1- 1 3

=

3

2

(2n-1)•

3n-1

3n

．…（7分）
（2）∵cn=bn(

1

3

)n-1=

2n-1

3n-1

，
∴Tn=

1

1

+

3

3

+

5

32

+…+

2n-1

3n-1

，…①…（8分）

1

3

Tn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

…②…（9分）
①②兩式相減得：

2

3

Tn=1+2(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

)-

2n-1

3n

=1+2×

1 3 - 1 3n

1- 1 3

-

2n-1

3n

=2-

2n+2

3n

…（13分）
所以：Tn=3-

n+1

3n-1

．…（14分）

點評：本題考查數(shù)陣與數(shù)列的額連續(xù)，考查數(shù)列的通項與求和，考查錯位相減法的運用，針對數(shù)列通項的特點，選擇正確的方法是關(guān)鍵．