Question

（本小題滿分12分）如圖（1），△是等腰直角三角形，分別為的中點，將△沿折起，使在平面上的射影恰好為的中點，得到圖（2）。


（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求三棱錐的體積。

Answer 1

（I）證明：見解析；
（Ⅱ）    

本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．
（1）欲證EF⊥A'C，可先證EF⊥平面A'EC，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證EF⊥平面A'EC內兩相交直線垂直，而EF⊥A'E，EF⊥EC，EC∩A‘E=E，滿足定理條件；
（2）先根據題意求出S△FBC，將求三棱錐F-A′BC的體積轉化成求三棱錐A′-BCF的體積，再根據三棱錐的體積公式求解即可．
（I）證明：在中，是等腰直角的中位線，EF//BC在四棱錐中，，， 平面，  又平面,
（Ⅱ）解：在直角梯形中，
,         
又垂直平分， 
三棱錐的體積為：