Question

【題目】如圖，在三棱柱中，每個側面均為正方形，D為底邊AB的中點，E為側棱的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析

（2）見解析

（3）

【解析】

（1）設和的交點為，根據，且，得到四邊形為平行四邊形，故，平面．

（2）證明平面，可得平面，故有，由正方形的兩對角線的性質可得，

從而證得平面．

（3）利用等體積法將轉化為求可得.

證明：（1）設和的交點為O，連接EO，連接OD.

因為O為的中點，D為AB的中點，

所以且.又E是中點，

所以，且，

所以且.

所以，四邊形ECOD為平行四邊形.所以.

又平面，平面，則平面.

（2）因為三棱柱各側面都是正方形，所以，.

所以平面ABC.因為平面ABC，所以.

由已知得，所以，

所以平面.由（1）可知，所以平面.

所以.因為側面是正方形，所以.

又，平面，平面，

所以平面.

（3）解：由條件求得，，可以求得

所以