Question

在平面直角坐標系xOy中，經過點（0，）且斜率為k的直線l與橢圓+y²=1有兩個不同的交點P和Q.
（1）求k的取值范圍；
（2）設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在常數k，使得向量+與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）k＜-或k＞（2）沒有符合題意的常數k

（1）由已知條件知直線l的方程為y=kx+,
代入橢圓方程得+(kx+)²=1.
整理得+2kx+1="0                           " ①
直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于
Δ=8k²-4=4k²-2＞0,                             
解得k＜-或k＞.
即k的取值范圍為(-∞,- )∪(,+∞).
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則+=（x₁+x₂，y₁+y₂），
由方程①得x₁+x₂=-                              ②
又y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2                                 ③
而A（，0），B（0，1），=（-，1）.
所以+與共線等價于x₁+x₂=-(y₁+y₂)，
將②③代入上式，解得k=.
由（1）知k＜-或k＞,故沒有符合題意的常數k.